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| Imaginäre Zahlen: Eine imaginäre Zahl ist eine Zahl, die mit der imaginären Einheit i multipliziert wird, die durch ihre Eigenschaft i^2 = -1 definiert ist. Das Quadrat einer imaginären Zahl bi ist -b^2. Zum Beispiel ist 5i eine imaginäre Zahl, und ihr Quadrat ist -25. Imaginäre Zahlen werden in der Mathematik verwendet, um Gleichungen zu lösen, die keine realen Lösungen haben. Sie werden auch in der Physik und Technik verwendet, um Phänomene wie Elektromagnetismus und Quantenmechanik zu beschreiben. Siehe auch Quantenmechanik._____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
| Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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W.V.O. Quine über Imaginäre Zahlen – Lexikon der Argumente
XIII 30 Imaginäre Zahlen/Quine: sind eigentlich von derselben Art wie reelle Zahlen, sie wurden nur später eingeführt. Sie wurden nur gebraucht, um die Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen zu können. Gleichung: hat immer n Lösungen wenn der höchste Exponent n ist. Reelle Zahlen: sind die positiven Zahlen und die 0. >Reelle Zahlen, >Gleichungen, >Zahlen. XIII 30 Negative reelle Zahlen/Quine: um sie überhaupt erst einmal zu erhalten, brauchen wir zunächst eine neue Art von Proportionen (ratios) zusammen mit irrationalen Zahlen Lösung: wir gebrauchen ausgezeichnete reelle Zahlen (positive und negative) um sie von den (positiven) reellen Zahlen zu unterscheiden. Schreibweise: ausgezeichnete (signed, bezeichnete) reelle Zahlen: als geordnete Paare (gP) ‹0,x› und ‹x, 0›. Geordnete Paare/gP/Reihenfolge/Quine: eine künstliche Weise, ein gP zu konstruieren ist z.B. {{x,y},x}… Hier ist x Element beider Elemente. ((s) So wird die Reihenfolge festgelegt). Danach können wir leicht auch y herausholen. imaginäre Einheit: Schreibweise i: = √–1. Def imaginäre Zahl: ist jedes Produkt yi, indem y eine bezeichnete (ausgezeichnete, signed) reelle Zahl ist. Def komplexe Zahl: ist jede Summe x + yi, wobei x und y bezeichnete (als positiv oder negativ bezeichnete) reelle Zahlen sind. Wegen der „Unverdaulichkeit“ von i ist die Summe nicht kommutativ. D.h. die Summe kann nicht verschieden aufgebrochen werden. Bsp 5 = 3 + 2 = 4 + 1. Das ist der Grund, warum komplexe Zahlen oft gebraucht werden, um Punkte einer Ebene zu repräsentieren. XIII 31 Komplexe Zahl/Tradition: vorher (im 19. Jahrhundert) wurden sie als geordnete Paare zweier bezeichneter reeller Zahlen angenommen. Proportionen/ratio/rationale Zahlen/Quine: haben zwei Sinne (senses) Positive ganze Zahlen: haben drei Sinne (senses) komplexe Zahlen: dasselbe passiert hier. Bsp a) √2, wie ursprünglich konstruiert, b) die positiv bezeichnete reelle Zahl + √2, c) die komplexe Zahl √2, also √2 + 0i, also ‹√2,0>. Reelle Zahl: kann immer auch als komplexe Zahl mit Imaginärteil = 0 dargestellt werden. Pointe: dadurch haben die rationalen Zahlen jetzt vier Sinne und die positiven ganzen Zahlen fünf Sinne! Aber das spielt in der Praxis keine Rolle. Auch nicht als philosophische Konstruktionen. In „Mengenlehre und ihre Logik“ habe ich diese Verdopplungen fast vollständig eliminiert. Bezeichnete komplexe Zahlen mit Imaginärteil 0 werden zu bezeichneten reellen Zahlen und diese zu unbezeichneten, normalen reellen Zahlen usw. Zahlen/Quine: (Mengenlehre und ihre Logik): am Ende werden alle diese Zahlen, (komplexe, imaginäre, reelle, rationale) zu natürlichen Zahlen. Nur diese letzteren werden verdoppelt, und zwar nur einmal, von der natürlichen Zahl n zu der rationalen Zahl 1/ n._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
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